Question

一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）如圖所示，M、N分別為A₁B、B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面A₁BC．

Answer 1

由題意可知，這個(gè)幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁
（Ⅰ）連接AC₁，AB₁．
由直三棱柱的性質(zhì)得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥A₁B₁，
則四邊形ABB₁A₁為矩形．
由矩形性質(zhì)得AB₁過(guò)A₁B的中點(diǎn)M
在△AB₁C₁中，由中位線性質(zhì)得MN∥AC₁，
又AC_1^?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁
（Ⅱ）因?yàn)锽C⊥平面ACC₁A₁，AC₁?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AC₁
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁
又因?yàn)锽C∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC
由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC