Question

6．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²-1．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-（a+2）（x-1），若a=4時，方程g（x）=b（b∈R）恰有3個實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（Ⅱ）求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得g（x）的單調(diào)區(qū)間，得到極小值和極大值，由題意可得b介于極小值和極大值之間．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=alnx+x²-1的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線斜率為k=a+2，
切點(diǎn)為（1，0），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為y-0=（a+2）（x-1），
即為（a+2）x-y-a-2=0：
（Ⅱ）g（x）=f（x）-（a+2）（x-1）=4lnx+x²-1-6（x-1），x＞0
g′（x）=$\frac{4}{x}$+2x-6=$\frac{2（{x}^{2}-3x+2）}{x}$=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=1或x=2，
當(dāng)0＜x＜1，或x＞2時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)1＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=1處g（x）取得極大值，且為0，
x=2處g（x）取得極小值，且為4ln2-3，
方程g（x）=b（b∈R）恰有3個實(shí)數(shù)根，即為：
4ln2-3＜b＜0，
則b的取值范圍是（4ln2-3，0）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，同時考查函數(shù)方程的思想，屬于中檔題．