Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,其中a_n=且,

(1)求a₂、a₃;

(2)猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;

(3)求S_n.

Answer 1

解：(1)由a₂=,得a₂=,由a₁=,a₂=,

得a₃=,∴a₃=.

(2)猜想a_n=,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí),猜想顯然成立.

②假設(shè)n=k時(shí),猜想成立,即a_k=,

由a_k+1=,

即S_k+1=(k+1)(2k+1)a_k+1,

同時(shí)S_k=k(2k-1)a_k=,兩式相減,得a_k+1=S_k+1-S_k=(k+1)(2k+1)a_k+1-,

∴［(k+1)(2k+1)-1］·a_k+1=,

即k(2k+3)a_k+1=.

∴a_k+1=,

即當(dāng)n=k+1時(shí),猜想成立.

由①②知對(duì)一切正整數(shù)N^*猜想都成立.

(3)

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