Question

10．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的方程為ρ=6sinθ．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點P（4，3），直線l與圓C相交于A，B兩點，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得，它的直角坐標方程；把圓C的極坐標方程依據(jù)互化公式轉(zhuǎn)化為直角坐標方程．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓C的直角坐標方程，得${t}^{2}-4\sqrt{2}t+7=0$，結(jié)合根與系數(shù)的關系進行解答．

解答 解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），得直線l的普通方程為x+y-7=0．
又由ρ=6sinθ得圓C的直角坐標方程為x²+（y-3）²=9；
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓C的直角坐標方程，
得${t}^{2}-4\sqrt{2}t+7=0$，
設t₁，t₂是上述方程的兩實數(shù)根，
所以t₁+t₂=4$\sqrt{2}$，t₁t₂=7，
∴t₁＞0，t₂＞0，
所以$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題重點考查了直線的參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標方程和直角坐標方程的互化、直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．