Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，F(xiàn)₂是C的右焦點(diǎn)，直線l：y=kx+m與C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，求證：當(dāng)直線F₂A與直線F₂B的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線l必過一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB方程為y=kx+m，由直線和橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1聯(lián)立，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明直線MN過定點(diǎn)（2，0）．

解答 證明：由題意，知直線AB斜率存在，其方程為y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
且${K}_{{F}_{2}A}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$，${k}_{{F}_{2}B}=\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$，
由已知直線F₂A與F₂B的傾斜角互補(bǔ)得，
${k}_{{F}_{2}M}+{k}_{{F}_{2}N}=0$即$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}+\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}=0$，
化簡得，2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$-$\frac{4km（m-k）}{2{k}^{2}+1}$-2m=0，
整理得，m=-2k，
∴直線MN的方程為y=k（x-2），
故直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

點(diǎn)評 本題考查曲線是橢圓的證明，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)及其應(yīng)用．