Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-x（a＞0，a≠1）
（1）若a=e（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)y=f（|x|）在全體實數(shù)R上恰有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=e代入求出函數(shù)解析式，可得導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出f′（x）＞0時和f′（x）＜0時自變量的范圍，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，同時根據(jù)極值的定義，求出極值；
（2）函數(shù)y=f（|x|）是偶函數(shù)，要使它在全體實數(shù)R上恰有4個零點，只須y=f（x）在（0，+∞）上有2個零點，即在（0，+∞）有2解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，可求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）f（x）=e^x-x，則f′（x）=e^x-1…（2分）
當(dāng)f′（x）＞0時，解得x＞0，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，解得x＜0，f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減．…（2分）
所以x=0是極小值點，f_極小值=f（0）=1…（2分）
（2）函數(shù)y=f（|x|）是偶函數(shù)，要使它在全體實數(shù)R上恰有4個零點，只須y=f（x）在（0，+∞）上有2個零點，…（2分）
要使方程a^x=x在（0，+∞）有2解，則有在（0，+∞）有2解，…（2分）
設(shè)，則…（1分）
當(dāng)x＞e時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，且
當(dāng)0＜x≤e時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，且…（4分）
根據(jù)圖象可知，
∴…（2分）
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，其中熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值的方法步驟是解答的關(guān)鍵．