Question

在數(shù)列{a_n} 中，已知a₁=，，b_n+2=3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n} 是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{c_n} 滿足c_n=a_n•b_n，求{c_n} 的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a₁=，，能求出數(shù)列{a_n} 的通項公式．
（Ⅱ）由b_n+2=3（n∈N^*），，知=3n-2，由此能證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（Ⅲ）由，b_n=3n-2，n∈N^*，c_n=a_n•b_n，，由此利用錯位相減法能求出{c_n} 的前n項和S_n．
解答：（Ⅰ）解：∵a₁=，，
∴數(shù)列{a_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴，n∈N^*．
（Ⅱ）證明：∵b_n+2=3（n∈N^*），，
∴=3n-2，
∴b₁=1，公差d=3，
∴數(shù)列{b_n}是首項b₁=1，公差d=3的等差數(shù)列．
（Ⅲ）解：∵，b_n=3n-2，n∈N^*，c_n=a_n•b_n，
∴，
∴，①
=1×+4×（）³+7×（）⁴+…+（3n-5）×（）ⁿ+（3n-2）×（）ⁿ⁺¹，②
①-②，得-（3n-2）×（）ⁿ⁺¹
=-（3n-2）×（）ⁿ⁺¹-（）ⁿ⁺¹，
∴，n∈N^*．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法．解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．