Question

如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，A，C分別是雙曲線虛軸的上、下頂點，B是雙曲線的左頂點，F(xiàn)為雙曲線的左焦點，直線AB與FC相交于點D．若雙曲線的離心率為3，則∠BDF的余弦值是（　　）

• A、

  17

  51

• B、

  2 7

  51

• C、

  3 17

  51

• D、

  5 17

  51

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用雙曲線的簡單性質求出直線方程，求出三角形三個頂點的坐標，利用余弦定理求得cos∠BDF的值．

解答： 解：由題意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F(xiàn)（-c，0），

c

a

=3．
∴BF=c-a=2a，BD 的方程為

x

-a

+

y

b

=1，即bx-ay+ab=0，
DC的方程為

x

-c

+

y

b

=1，即bx+cy+bc=0，即bx+3ay+3ab=0，
聯(lián)立，可得D（-

3a

2

，-

b

2

），又b=2

2

a，
∴FD=

17

2

a，BD=

3a

2

，
△BDF中，由余弦定理得4a²=

17

4

a²+

9

4

a²-2•

17

2

•

3a

2

cos∠BDF，
∴cos∠BDF=

5 17

51

．
故選：D．

點評：本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意余弦定理和雙曲線簡單性質的靈活運用．