Question

17．若實數(shù)x，y滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≥4\\ x-3y+12≥0\end{array}\right.$，則2x-y的最大值是6；x²+（y-1）²的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．利用x²+（y-1）²的幾何意義求解即可．

解答 解：由約束條件不等式$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≥4\\ x-3y+12≥0\end{array}\right.$作出可行域如圖：
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x-3y+12=0}\end{array}\right.$，解得：A（6，6），
化z=2x-y為y=2x-z，
由圖可知，當直線y=2x-z過A（6，6）時z有最大值為2×6-6=6．
x²+（y-1）²的幾何意義是可行域的點與（0，1）距離的平方，結(jié)合圖形可知，x²+（y-1）²的最小值是PM的距離的平方，即點P到直線x+y=4的距離的平方：
即$（{\frac{|0+1-4|}{\sqrt{1+1}}）}^{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案為：$6；\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．