Question

（2009湖南卷文）（本小題滿分12分）

   如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE.

（Ⅰ）證明：平面平面;    

（Ⅱ）求直線AD和平面所成角的正弦值。

Answer 1

解析:（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.

又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,

所以DE⊥平面.又DE 平面，

故平面⊥平面.

 

（Ⅱ）解法 1:  過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn),

連接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，

所以AF平面,故是直線AD和

平面所成的角。    因?yàn)?I>DE，

所以DEAC.而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，

于是AD=，AE=4-CE=4-=3.

又因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090629/20090629144712018.gif' width=65>，所以E= = 4,            

 ,  .

即直線AD和平面所成角的正弦值為     .

解法2 : 如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,),  (2,0,), D(-1, ,0),  E(-1,0,0).

易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

解得.

故可取.于是   

 

=     .            

由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為     .