Question

（2012•長春模擬）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥CB，D為AB中點，A₁A=AC=

3

，CB=1．
（1）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求三棱錐C₁-A₁DC的體積．

Answer 1

分析：（1）要證BC₁∥平面A₁CD，只需證明BC₁∥平面A₁CD內(nèi)的一條直線即可，由于已知的三條直線A₁C，A₁D，DC，都不與BC₁平行，故需添加輔助線完成；
（2）要求三棱錐的體積，關(guān)鍵找到合適的底面和高，而在此我們可以用等體積來轉(zhuǎn)化．

解答：解：（1）證明：連接AC₁∩A₁C=O，連接DO，則O和D分別為AC₁和AB的中點，
∴DO∥BC₁，而DO?面A₁DC，BC₁?面A₁DC，
∴BC₁∥面A₁DC．
（2）∵BC₁∥面A₁DC，∴C₁和B到平面A₁DC的距離相等，
從而有V三棱錐C1-A1DC=V三棱錐A1-BDC
=

1

3

S△BDC•AA1=

1

3

×

1

2

S△ABC•AA1，
=

1

6

×

1

2

AC•BC•AA1=

1

6

×

1

2

×

3

×1×

3

=

1

4

．

點評：本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的平行關(guān)系、幾何體的體積的求法等知識．