Question

已知對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與拋物線有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).
（1）求直線l的方程；
（2）若橢圓經(jīng)過直線l上的點(diǎn)P，當(dāng)橢圓的長軸長取得最小值時(shí)，求橢圓的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）解法一：由，消去y得。   
∵直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)   
∴解得m=-4
∴直線l的方程為y=2x-4
解法二：設(shè)直線l與拋物線的公共點(diǎn)坐標(biāo)為
由得
∴直線的斜率
依題意得解得，
把代入拋物線的方程得
∵點(diǎn)在直線l上，
∴解得
∴直線l的方程為；
（2）解法一：拋物線的焦點(diǎn)為
依題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)橢圓的方程為，
 由消去y，得  
由
得，解得，∴，   
∴當(dāng)a=2時(shí)橢圓的長軸長取得最小值其值為4
此時(shí)橢圓的方程為，把a(bǔ)=2代入方程得，從而
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
解法二：∵拋物線的焦點(diǎn)為
 依題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，    
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，
則
 解得，
∴點(diǎn)
∴直線與直線的交點(diǎn)為
 由橢圓定義及平面幾何知識(shí)得    橢圓的長軸長，
其中當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，上面不等式取等號(hào)。 
∴當(dāng)a=2時(shí)橢圓的長軸長取得最小值其值為4，
此時(shí)橢圓方程為，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為。