Question

函數f（x）=x³-x²+ax
（1）a=-1，求f（x）在[0，2]的值域；   
（2）f（x）在R上恒增，求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：（1）先求出函數的導數，得到單調區(qū)間從而求出函數的最值，問題解決，（2）由f′（x）=3x²-2x+a＞0，得△=4-12a＜0，解出即可．

解答： 解：（1）a=-1時，f（x）=x³-x²-x，
∴f（x）=（3x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：1＜x≤2，
令f′（x）＜0，解得：0≤x＜1，
∴f（x）在[0，1）遞減，在（1，2]遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-1，
而f（0）=0，f（2）=2，
∴f（x）在[0，2]的值域[-1，2]；
（2）∵f′（x）=3x²-2x+a，
由f（x）在R上恒增，
∴f′（x）=3x²-2x+a＞0，
∴△=4-12a＜0，
∴a＞

1

3

，
故a的范圍是：（

1

3

，+∞）．

點評：本題考察了利用導數研究函數的單調性，函數的最值問題，參數的范圍，是一道基礎題．