Question

已知數(shù)列{}成等比數(shù)列，且＞0．
（1）若a₂﹣a₁=8，a₃=m．
①當(dāng)m=48時(shí)，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
②若數(shù)列 {}是唯一的，求m的值；
（2）若a_2k+a_2k﹣1+…+a_k+1﹣（a_k+a_k﹣1+…+a₁）=8，k∈N*，求a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)等比數(shù)列{}的公比為q，由題意可得q＞0．
①當(dāng)m=48時(shí)，由a₂﹣a₁=8，a₃=48 可得 ，
解得 ，或 ．
數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為 =8（2﹣），或
  =8（2+） ．
②若數(shù)列 {}是唯一的，則有唯一的正數(shù)解，
即方程8q²﹣mq+m=0 有唯一的正數(shù)解，
由△=m²﹣32m=0 可得m=32，此時(shí)，q=2，=2n+2．
（2）若a_2k+a_2k﹣1+…+a_k+1﹣（a_k+a_k﹣1+…+a₁）=8，k∈N*，
則有 q^k（a_k+a_k﹣1+…+a₁）﹣（a_k+a_k﹣1+…+a₁）=8，q＞1，
即 （q^k﹣1）（a_k+a_k﹣1+…+a₁）=8，
即 a₁（q^k﹣1）（ q^k﹣1+q^k﹣2+q^k﹣3+…q+1）=8．
∴a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k =a₁q^2k（ q^k﹣1+q^k﹣2+q^k﹣3+…q+1）=a₁q^2k
===8[（q^k﹣1）+2+]≥8（2+2）=32，
當(dāng)且僅當(dāng) q^k﹣1= 時(shí)，等號(hào)成立，
故a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值為 32．