Question

16．如圖在扇形AOB中，OA=OB=1，∠AOB=1弧度，圓C是扇形AOB的內(nèi)切圓，圓C與OA切于T點(diǎn)．
（1）求圓C的半徑r；
（2）求證：|$\overrightarrow{OT}$|=tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{4}$）；
（3）設(shè)P點(diǎn)為圓C上一動點(diǎn)，當(dāng)（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞最大時，試比較|$\overrightarrow{AP}$|與|$\overrightarrow{OT}$|的大�。�

Answer 1

分析 （1）直接通過求解直角三角形得圓C的半徑r；
（2）求解直角三角形可得|$\overrightarrow{OT}$|=tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{4}$）；
（3）把（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞轉(zhuǎn)化為三角形OAP的面積分析，可知當(dāng)三角形OAP面積最大時，（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞最大．由此比較出|$\overrightarrow{AP}$|與|$\overrightarrow{OT}$|的大小．

解答 （1）解：在Rt△OTC中，sin$\frac{1}{2}$=$\frac{r}{1-r}$，則r=$\frac{sin\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}$；
（2）證明：由圖可知，tan$\frac{1}{2}$=$\frac{r}{|\overrightarrow{OT}|}$，
∴|$\overrightarrow{OT}$|=$\frac{r}{tan\frac{1}{2}}=\frac{\frac{sin\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}}{tan\frac{1}{2}}$=$\frac{cos\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}$，
∵tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{4}$）=tan$\frac{\frac{π}{2}-\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}-\frac{1}{2}）}{1+cos（\frac{π}{2}-\frac{1}{2}）}$=$\frac{cos\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}$，
∴|$\overrightarrow{OT}$|=tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{4}$）；
（3）解：由（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{AP}|•cos$＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞
=$|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{AP}|sin$＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{1}{2}$S_△OAP，
∴當(dāng)P為TC的延長線與圓的交點(diǎn)時，（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞最大．
∵$\frac{cos\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}$$＞\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{AP}$|＜|$\overrightarrow{OT}$|．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了直角三角形的求解方法，考查數(shù)學(xué)中思想方法，屬中檔題．