Question

已知函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

，(a∈R)是奇函數(shù)．
（1）求a的值；（2）求證f（x）是R上的增函數(shù)；（3）求證xf（x）≥0恒成立．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

，(a∈R)是奇函數(shù)，其定義域為R，根據(jù)定義在R上奇函數(shù)圖象必過原點(diǎn)，可得f（0）=0，解方程可求出a值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論化簡函數(shù)的解析式，并任取R上兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，作差判斷f（x₁），f（x₂）的大小，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到答案．
（3）根據(jù)f（0）=0，f（x）是R上的增函數(shù)，可得當(dāng)x＜0時，f（x）＜0，當(dāng)x=0時，f（x）=0，當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

，(a∈R)的定義域為R
根據(jù)定義在R上奇函數(shù)圖象必過原點(diǎn)
故f(0)=a-

2

20+1

=0
解得a=1；
證明：（2）由（1）可得f(x)=1-

2

2x+1

=

2x -1

2x +1

任取R上兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)•(2x2+1)-(2x2-1)•(2x1+1)

(2x1+1)•(2x2+1)

=

(2x+x2-2x2+2x1-1)-(2x+x2+2x2-2x1-1)

(2x1+1)•(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)•(2x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）由（1）（2）得，
當(dāng)x＜0時，f（x）＜0，此時xf（x）＞0
當(dāng)x=0時，f（x）=0，此時xf（x）=0
當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，此時xf（x）＞0
故xf（x）≥0恒成立

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及單調(diào)性的證明方法步驟是解答本題的關(guān)鍵．