Question

用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB、CD的平面截此四面體，如圖

(1)求證：所得截面MNPQ是平行四邊形；

(2)如果AB=CD=a.求證：四邊形MNPQ的周長(zhǎng)為定值；

Answer 1

解析：(1)∵AB∥平面MNPQ.

平面ABC∩平面MNPQ=MN.

且AB平面ABC.

∴由線面平行的性質(zhì)定理知，AB∥MN.

同理可得PQ∥AB.

∴由平行公理可知MN∥PQ.

同理可得MQ∥NP.

∴截面四邊形MNPQ為平行四邊形.

(2)∵由(1)可知MN∥AB.∴.

∵M(jìn)N=λAB=λa,MC=λAC.

又∵M(jìn)G∥CD,∴.

∴MQ=·CD=(1-λ)a,

∴MN+MQ=λa+(1-λ)a=a.

∴平行四邊形MNPQ的周長(zhǎng)2(MN+MQ)=2a定值.