Question

6．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各頂點(diǎn)都在半徑為$\sqrt{5}$的球面上，且邊AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，則這個(gè)直三棱柱的體積等于（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 如圖所示，分別取BC，B₁C₁的中點(diǎn)D，D₁，連接DD₁，設(shè)DD₁的中點(diǎn)為O，由邊AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，可得AB⊥AC，因此點(diǎn)D為△ABC的外心，可得DA=DB=DC．可得DD₁⊥平面ABC，且點(diǎn)O到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)O為外接球的球心．可得OD，利用直三棱柱的體積=S_△ABC•DD₁即可得出．

解答 解：如圖所示，
分別取BC，B₁C₁的中點(diǎn)D，D₁，
連接DD₁，設(shè)DD₁的中點(diǎn)為O，
∵邊AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，
∴AB⊥AC，
∴點(diǎn)D為△ABC的外心．
DA=DB=DC．
∵DD₁⊥平面ABC，且點(diǎn)O到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，
則點(diǎn)O為外接球的球心．
∴OC²=OD²+CD²，
∴$（\sqrt{5}）^{2}=O{D}^{2}$+$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$，
∴OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴DD₁=$3\sqrt{2}$．
∴這個(gè)直三棱柱的體積=S_△ABC•DD₁=$\frac{1}{2}×{1}^{2}×3\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了直三棱柱的體積計(jì)算公式、球的性質(zhì)、線面垂直的判定及其性質(zhì)、勾股定理的逆定理、直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．