Question

（2013•東莞二模）已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，若f(

A

2

)=2，b=1，c=2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)倍角公式和兩角和的正弦公式可得f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，由對(duì)稱軸方程滿足2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z即可解出；再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出單調(diào)區(qū)間．
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性和余弦定理即可得出．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
對(duì)稱軸方程滿足2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z
即x=

1

2

kπ+

π

3

，k∈Z，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得，kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）f(

A

2

)=2，則2sin(A-

π

6

)=2⇒sin(A-

π

6

)=1，
∴A-

π

6

=

π

2

+2kπ，A=

2π

3

+2kπ，k∈Z．
又0＜A＜π，∴A=

2π

3

，
∴a²=b²+c²-2bccosA=7，∴a=

7

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角函數(shù)倍角公式、兩角和的正弦公式、對(duì)稱軸方程、三角函數(shù)的單調(diào)性和余弦定理是解題的關(guān)鍵．