Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+3在（0，1）上為減函數(shù)，函數(shù)g（x）=x²-alnx在區(qū)間（1，2）上為增函數(shù)．
（I）求a的值；
（Ⅱ）試判斷方程f（x）=2g（x）+m（m＞-1）在（0，+∞）上解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

（I）∵函數(shù)f（x）=x²-ax+3在（0，1）上為減函數(shù)，
依題意f'（x）≤0在x∈（0，1）上恒成立，
得2x≤a在x∈（0，1）上恒成立，
∴a≥2…（2分）
又∵g′(x)=2x-

a

x

，依題意g'（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立，
得2x²≥a在x∈（1，2）上恒成立，有a≤2，
∴a=2…（6分）
（Ⅱ）令

h(x)=2g(x)+m-f(x)=x2+2x-4lnx+(m-3)，則

h′(x)=2x+2- 4 x = 2(x+2)(x-1) x

當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上為減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
∴h_min（x）=h（1）=m
∴h（x）≥h（1）=m，即2g（x）+m-f（x）≥m…（8分）
①當m＞0時，

2g(x)+m-f(x)≥m＞0即2g(x)+m＞f(x)，

∴f(x)=2g(x)+m在(0，+∞)上無解…(9分)

②當m=0時，2g（x）≥f（x），當且僅當x=1時，2g（x）=f（x），
∴f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上僅有一個解x=1；…（11分）
③當-1＜m＜0時，

∵h( 1 e )= 1 e2 + 2 e +4+(m-3)= 1 e2 + 2 e +1+m＞0 h(1)=m＜0 h(e)=e2+2e-4+(m-3)=e2+2e+(m-7)＞e2+2e-8＞0

∴h（x）在(

1

e

，1)和（1，e）內(nèi)各有一個零點，即f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上有二個解．…（14分）