Question

已知函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx²（k∈R）有四個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）在區(qū)間（0，+∞）上，根據(jù)函數(shù)f（x）=1-

2

x+2

，可得函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx²（k∈R）有四個不同的零點，則

|x|

x+2

-kx²=0 ①有四個不同的實數(shù)根．再分（1）當x=0時、（2）當x＜0且 x≠-2時、（3）當x＞0時三種情況，分別求出方程的根，綜合可得方程①有4個不相等的實數(shù)根的條件．

解答： 解：（Ⅰ）∵在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)f（x）=

x

x+2

=

x+2-2

x+2

=1-

2

x+2

，
故函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx²（k∈R）有四個不同的零點，
則

|x|

x+2

-kx²=0 ①有四個不同的實數(shù)根．
（1）當x=0時，不論k取何值，方程①恒成立，即x=0恒為方程①的一個實數(shù)解．
（2）當x＜0且 x≠-2時，方程①有實數(shù)根，即-

x

x+2

-kx²=0 有實數(shù)根，即 kx²+2kx+1=0 ②有實數(shù)根．
若k=0，則②無實數(shù)根；若k≠0，則由△=4k²-4k≥0，求得k＜0，或 k≥1．
設(shè)方程②的2個根分別為x₁、x₂，則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

1

k

．
顯然，當k＞1時，方程②有2個不等負實數(shù)根；當k=1時，方程②有2個相等的負實數(shù)根；
當k＜0時，方程②有2個不等實數(shù)根，由x₁+x₂=-2、x₁•x₂=

1

k

＜0，可得方程②有一個負實數(shù)根（正根舍去）．
（3）當x＞0時，由方程①有實根，方程①化為kx²+2kx-1=0 ③．
若k=0，方程③無實根；若k≠0，當△=4k²-4k≥0，求得k＞0，或 k≤-1時，方程③有實根，
設(shè)方程③的2個實根分別為x₃、x₄，則x₃+x₄=-2，x₃•x₄=-

1

k

．
當k＞0時，△＞0，方程③有2個不相等實根，由x₃•x₄=-

1

k

＜0 可得這2個根異號，舍去負根，
∴方程③有一個正實數(shù)根．
當k≤-1，由x₃+x₄=-2，x₃•x₄=-

1

k

＞0可得方程③沒有正實數(shù)根．
綜上可得，只有當k＞1時，方程①才有4個不相等的實數(shù)根，即函數(shù)g（x）有4個不同的零點．

點評：本題主要考查函數(shù)零點和方程的根的關(guān)系，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．