Question

3．如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)R，過焦點(diǎn)F作傾斜角為$\frac{2π}{3}$的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P，Q，則S_△PAR：S_△QBR的值等于$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用定義可得|PA|=|AF|，|QB|=|BF|，|PR|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AF|，|QR|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|BF|，可得S_△PAR：S_△QBR=|AF|²：|BF|²．設(shè)出直線AB的參數(shù)方程，代入拋物線方程，求得t的值，即可得到所求比值．

解答 解：拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得|PA|=|AF|，|QB|=|BF|，
|PR|=|AF|sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AF|，|QR|═$\frac{\sqrt{3}}{2}$|BF|，
則S_△PAR：S_△QBR=$\frac{1}{2}$|PA|•|PR|：$\frac{1}{2}$|QB|•|QR|=|AF|²：|BF|²．
設(shè)過F的直線為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入拋物線方程，可得$\frac{3}{4}$t²+pt-p²=0，
解得t₁=-2p，t₂=$\frac{2}{3}$p．（p＞0），
即有|AF|：|BF|=$\frac{2}{3}$p：2P=1：3，
則有S_△PAR：S_△QBR=1：9．
故答案為：$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法，以及面積公式，同時(shí)考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．