Question

已知函數(shù)，（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，由得x＞0；當(dāng)a＜0時(shí)由得-1＜x＜0
綜上：當(dāng)a＞0時(shí)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，0）
（Ⅱ）=
令f'（x）=0時(shí)，得lnax=0，即，
①當(dāng)a＞0時(shí)，時(shí)f'（x）＞0，當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，
故當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
②當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，-1＜ax＜0，所以f'（x）＞0，
故當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，f（x）在x∈（-1，0）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＜-1時(shí)，若，f'（x）＜0；若，f'（x）＞0，
故當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．
綜上：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為
當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）；
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；
（Ⅲ）因?yàn)楫?dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為
若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，只須，
即
分析：（I）由題意可得對(duì)a 情況討論解不等式可求．
（II）先對(duì)函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（III）由條件：“存在x使得f（x）≥ln（2a）成立令h（x）=1+x-2ln（1+x）”，由（II）知，這時(shí)只需只須，可以得出a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解答的關(guān)鍵是會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．