Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax（lnx-1）-x²（a∈R）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式lnx₁+λlnx₂＞1+λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=alnx-2x，a≠0，$\frac{2}{a}=\frac{lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，${g}^{'}（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得alnx₁=2x₁，alnx₂=2x₂，兩式相減，得a（lnx₁-lnx₂）=2（x₁-x₂），a=2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$，從而$\frac{（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+λ）ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$＞1+λ，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），得（t+λ）lnt-（1+λ）（t-1）＜0，令h（t）=（t+λ）lnt-（1+λ）（t-1），則h′（t）=lnt+$\frac{λ}{t}$-λ，令I(lǐng)（t）=lnt+$\frac{λ}{t}$-λ，則I′（t）=$\frac{1}{t}-\frac{λ}{{t}^{2}}$=$\frac{t-λ}{{t}^{2}}$，（t∈（0，1）），由此利用分類討論思想，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（lnx-1）-x²（a∈R），
∴f′（x）=alnx-2x，
依題意得x₁，x₂是alnx-2x=0的兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)根，
∴a≠0，$\frac{2}{a}=\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，${g}^{'}（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，且g（1）=0，
當(dāng)x＞e時(shí)，g（x）＞0，
∴0＜$\frac{2}{a}$＜g（e）=$\frac{1}{e}$，
解得a＞2e，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2e，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得alnx₁=2x₁，alnx₂=2x₂，
兩式相減，得a（lnx₁-lnx₂）=2（x₁-x₂），a=2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$，
∴l(xiāng)nx₁+λlnx₂＞1+λ，∴$\frac{2（{x}_{1}+λ{(lán)x}_{2}）}{a}$＞1+λ，∴2（x₁+λx₂）＞a（1+λ），
∴x₁+λx₂＞$\frac{（1+λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$，∴$\frac{（{x}_{1}+λ{(lán)x}_{2}）（ln{x}_{1}-ln{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1+λ，
∴$\frac{（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+λ）ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$＞1+λ，
∵0＜x₁＜x₂，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），∴$\frac{（t+λ）lnt}{t-1}＞1+λ$，
∴（t+λ）lnt-（1+λ）（t-1）＜0，
令h（t）=（t+λ）lnt-（1+λ）（t-1），
則h′（t）=lnt+$\frac{λ}{t}$-λ，
令I(lǐng)（t）=lnt+$\frac{λ}{t}$-λ，則I′（t）=$\frac{1}{t}-\frac{λ}{{t}^{2}}$=$\frac{t-λ}{{t}^{2}}$，（t∈（0，1）），
①當(dāng)λ≥1時(shí)，I′（t）＜0，∴h′（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h′（t）＞h′（1）=0，
∴h（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴h（t）＜h（1）=0，符合題意．
②當(dāng)λ≤0時(shí)，I′（t）＞0．∴h′（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴h′（t）＜h′（1）=0，
∴h′（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h（t）＞h（1）=0，不符合題意
③當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，I′（t）＞0，λ＜t＜1，∴h′（t）在（λ，1）上單調(diào)遞增，
∴h′（t）＜h′（1）=0，
∴h（t）在（λ，1）上單調(diào)遞減，∴h（t）＞h（1）=0，不符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．