Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-2|+|x+3|
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥|2a-1|恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）問題等價于f（x）_min≥|2a-1|，由（1）求得f（x）_min=4，可得4≥|2a-1|，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|2x-2|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x≤-3}\\{-x+5，-3＜x＜1}\\{3x+1，x≥1}\end{array}\right.$，
∴原不等式f（x）＞6可轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-3x-1＞6}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜1}\\{-x+5＞6}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{3x+1＞6}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x≤-3，解求得-3＜x＜-1，解②求得x＞$\frac{5}{3}$，
故原不等式的解集為{x|x＜-1，或x＞$\frac{5}{3}$}．
（2）關(guān)于x的不等式f（x）≥|2a-1|恒成立，等價于f（x）_min≥|2a-1|，
由（1）得f（x）_min=4，∴4≥|2a-1|，求得-$\frac{3}{2}$≤a≤$\frac{5}{2}$，
故所求a的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．