Question

已知⊙O′過定點A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線x²=2py上運動，MN為圓O′在x軸上所截得的弦.

(Ⅰ)當O′點運動時，|MN|是否有變化?并證明你的結論；

(Ⅱ)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，試判斷拋物線C的準線與圓O′的位置關系，并說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)設O′(x₀,y₀),則=2py₀(y₀≥0)則①O′的半徑|O'A|= 

①O′的方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=+(y₀-p)²令y=0,并把=2py₀代人得x²-2x₀x+-p²=0, 

解得x₁=x₀-p,x₂=x₀+p,∴|MN|+|x₁-x₂|=2p, 

∴|MN|不變化,為定值2P. 

(Ⅱ)不妨設M(x₀-p,0),N(x₀+p,0)由題2|OA|=|OM|+|ON|得2p=|x₀-p|+|x₀+p|  

∴-p≤x₀≤p 

∵O′到拋物線準線y=的距離d=y₀+

①O′的半徑|O'A|==

∵r＞d+4p⁴＞(+p²)²＜p²：

又≤p²＜p²(p＞0) 

故r＞d,即①O′與拋物線的準線總相交.