Question

20．已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若m=1，過點(diǎn)（-2，3）的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（2）若曲線C表示圓，且直線x-y-1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得當(dāng)m=1時(shí)，曲線C是以C（1，2）為圓心，2為半徑的圓，進(jìn)而設(shè)直線l為：y-3=k（x+2），由點(diǎn)到直線的距離公式分析可得$\frac{{|{k-2+2k+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解可得k的值，代入直線方程即可得答案；
（2）首先分析曲線C表示圓時(shí)m的取值范圍，再假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，設(shè)出A、B的坐標(biāo)，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，必有OA⊥OB，由此分析可得x₁x₂+y₁y₂=0，聯(lián)立直線與圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系分析${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{m+5}{2}+\frac{m-1}{2}=m+2=0$，解可得m的值，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)m=1時(shí)，曲線C：x²+y²-2x-4y+1=0，即（x-1）²+（y-2）²=4，
是以C（1，2）為圓心，2為半徑的圓，
若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意，
故可設(shè)直線l為：y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0．
由題意知，圓心C（1，2）到直線l的距離等于$\sqrt{{2^2}-{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=1$，
即：$\frac{{|{k-2+2k+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$
解得k=0或$k=-\frac{3}{4}$．
故的方程y=3或$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$（即3x+4y-6=0）．
（2）由曲線C表示圓x²+y²-2x-4y+m=0，即（x-1）²+（y-2）²=5-m，
所以圓心C（1，2），半徑$r=\sqrt{5-m}$，則必有m＜5．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，則OA⊥OB，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-2x-4y+m=0}\\{x-y-1=0}\end{array}$得2x²-8x+5+m=0，
∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，
又m＜5，故m＜3，
從而${x_1}+{x_2}=4，{x_1}{x_2}=\frac{m+5}{2}$
∴${y_1}{y_2}=（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）={x_1}{x_2}-（{{x_1}+{x_2}}）+1=\frac{m+5}{2}-3=\frac{m-1}{2}$
∴${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{m+5}{2}+\frac{m-1}{2}=m+2=0$
∴m=-2＜3，
故存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，m=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系問題時(shí)需要分析直線的斜率是否存在．