Question

（2012•浦東新區(qū)二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DA，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．
（1）求異面直線EF與PD所成角的大小；
（2）當EF=

2

時，求在四棱錐F-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線性質(zhì)可得∠APD為異面直線EF與PD所成的角或補角，證明△ADP是等腰直角三角形，可得異面直線EF與PD所成角的大小．
（2）解：由（1）知，EF=

1

2

AP，且 EF=

2

，AP=2

2

．判斷點F到底面ABCD的距離為

1

2

PD=1，由此求得四棱錐F-ABCD的體積．

解答：解：（1）∵E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點，∴EF∥AP．
∴∠APD為異面直線EF與PD所成的角或補角．
∵PD⊥底面ABCD，PD=AD，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APD=45°，
∴異面直線EF與PD所成角的大小為45°．
（2）解：由（1）知，EF=

1

2

AP，且 EF=

2

，
∴AP=2

2

．
又由題意知，△PAD為等腰直角三角形，
∴PD=AD=2．
又∵點F為PB的中點，
∴點F到底面ABCD的距離為

1

2

PD=1．
∴四棱錐F-ABCD的體積為

1

3

×2×2×1=

4

3

．

點評：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，求棱錐的體積，找出異面直線所成的角的平面角、棱錐的高，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．