Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意求得函數(shù)f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x），由

x+1＞0 1-x＞0

求得函數(shù)的定義域．
（Ⅱ）由于函數(shù)f（x）+g（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）+g（-x）=f（x）+g（x），可得f（x）+g（x）為偶函數(shù)．
（Ⅲ）f（x）+g（x）＜0 等價于log_a（-x+1）（1+x）＜0．再分當a＞1時、當 0＜a＜1兩種情況，分別求得使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）=log_a（x+1）（1-x），
由

x+1＞0 1-x＞0

解得-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域為（-1，1）．
（Ⅱ）由于函數(shù)f（x）+g（x）=log_a（x+1）（1-x）的定義域關(guān)于原點對稱，
且滿足f（-x）+g（-x）=log_a（-x+1）（1+x）=f（x）+g（x），
故f（x）+g（x）為偶函數(shù)．
（Ⅲ）f（x）+g（x）＜0 等價于log_a（-x+1）（1+x）＜0．
當a＞1時，f（x）+g（x）＜0，等價于 0＜（-x+1）（1+x）＜1，
等價于

(-x+1)(1+x)＜1 (-x+1)(1+x)＞0

，解得-1＜x＜0，或 0＜x＜1，
即使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合為（-1，0）∪（0，1）．
當 0＜a＜1時，f（x）+g（x）＜0 等價于（-x+1）（1+x）＞1，
化簡可得x²＜0，故x不存在，
即使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合為∅．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的判斷，一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．