Question

3．函數(shù)y=cosx-x²在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{{π}^{2}}{16}$，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦函數(shù)y=cosx和二次函數(shù)y=-x²在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的單調性，從而可以得到原函數(shù)在$[-\frac{π}{4}，0）$上單調遞增，在$[0，\frac{π}{4}]$上單調遞減，從而得出x=0時原函數(shù)取最大值，x=$±\frac{π}{4}$時，原函數(shù)取最小值，這便可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：y=cosx和y=-x²在[$-\frac{π}{4}$，0）上都單遞增；
∴原函數(shù)在$[-\frac{π}{4}，0）$上單調遞增；
y=cosx和y=-x²在$[0，\frac{π}{4}]$上都單調遞減；
∴原函數(shù)在[0，$\frac{π}{4}$]上單調遞減；
∴x=0時，原函數(shù)取最大值1，x=$-\frac{π}{4}$或$\frac{π}{4}$時，原函數(shù)取最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{{π}^{2}}{16}$；
∴原函數(shù)的值域為[$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{{π}^{2}}{16}$，1]．
故答案為：$[\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{{π}^{2}}{16}，1]$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，余弦函數(shù)和二次函數(shù)的單調性，f（x）+g（x）的單調性和f（x），g（x）單調性的關系，根據(jù)函數(shù)的單調性求最值，從而得出函數(shù)在閉區(qū)間上值域的方法．