Question

已知函數．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若函數y=g（x）對任意x滿足g（x）=f（4-x），求證：當x＞2，f（x）＞g（x）；
（3）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＞4．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出其導函數，利用導函數值的正負對應的區(qū)間即可求出原函數的單調區(qū)間進而求出極值；
（2），求出其導函數利用導函數的值來判斷其在（2，+∞）上的單調性，進而證得結論．
（3）先由（1）得f（x）在（-∞，2）內是增函數，在（2，+∞）內是減函數，故x₁、x₂不可能在同一單調區(qū)間內；設x₁＜2＜x₂，由（2）可知f（x₂）＞g（x₂），即f（x₁）＞f（4-x₂）．再結合單調性即可證明結論．
解答：解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=．（2分）
令f'（x）=0，解得x=2．

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+		-
f（x）	↗	極大值	↘

∴f（x）在（-∞，2）內是增函數，在（2，+∞）內是減函數．（3分）
∴當x=2時，f（x）取得極大值f（2）=．（4分）
（2）證明：，，
∴F'（x）=．（6分）
當x＞2時，2-x＜0，2x＞4，從而e⁴-e^2x＜0，
∴F'（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函數．
∴．（8分）
（3）證明：∵f（x）在（-∞，2）內是增函數，在（2，+∞）內是減函數．
∴當x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），x₁、x₂不可能在同一單調區(qū)間內．
不妨設x₁＜2＜x₂，由（2）可知f（x₂）＞g（x₂），
又g（x₂）=f（4-x₂），∴f（x₂）＞f（4-x₂）．
∵f（x₁）=f（x₂），∴f（x₁）＞f（4-x₂）．
∵x₂＞2，4-x₂＜2，x₁＜2，且f（x）在區(qū)間（-∞，2）內為增函數，
∴x₁＞4-x₂，即x₁+x₂＞4．（12分）
點評：本小題主要考查函數與導數的綜合應用能力，具體涉及到用導數來研究函數的單調性、極值，并考查數學證明．利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區(qū)間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是．教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．