Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），則點(diǎn)集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的平面區(qū)域的面積是

4

．

Answer 1

分析：由兩定點(diǎn)A，B及設(shè)出的P點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量基本定理，把P的坐標(biāo)用A，B的坐標(biāo)及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去絕對(duì)值后可得線性約束條件，畫出可行域可求點(diǎn)集P所表示區(qū)域的面積．

解答：解：由O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），
得到

OA

=（2，0），

OB

=（0，1），
再設(shè)P（x，y）．
由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，得：（x，y）=λ（2，0）+μ（0，1）．
即

x=2λ y=μ

，解得

λ= 1 2 x μ=y

    ①．
由|λ|+|μ|≤1．
所以①等價(jià)于

1 2 x+y≤1 x≥0，y≥0

或

1 2 x-y≤1 x≥0，y＜0

或

- 1 2 x+y≤1 x＜0，y≥0

或

- 1 2 x-y≤1 x＜0，y＜0

．
可行域如圖中菱形及其內(nèi)部區(qū)域，
則S=

1

2

×(1-(-1))×(2-(-2))=4，
故點(diǎn)集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的平面區(qū)域的面積是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的基本定理及其意義，考查了二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于讀懂題意，屬中檔題．