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證明：如果a,b,c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當且僅當a=b=c時取“=”）.

思路分析：仿照二次基本不等式的證明方法，先作差整理，化為可以判斷符號的完全平方式的形式，或可以判斷符號的積的形式，進而結(jié)論可以得證.

證明：∵a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)［(a+b)2-(a+b)c+c2］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab］

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

=(a+b+c)［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］,

又∵a,b,c∈R+,∴上式≥0,從而a3+b3+c3≥3abc.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知點A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩陣M表示變換”順時針旋轉(zhuǎn)45°”．
（Ⅰ）寫出矩陣M及其逆矩陣M-1；
（Ⅱ）請寫出△ABC在矩陣M-1對應的變換作用下所得△A1B1C1的面積．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
過P（2，0）作傾斜角為α的直線l與曲線E：
x=cosθ
y=
2
2
sinθ
（θ為參數(shù)）交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線E的普通方程及l(fā)的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范圍．
（3）（選修4-5 不等式證明選講）
已知正實數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3，
（Ⅰ）求證：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

 選做題（在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，并將選作標記用2B鉛筆涂黑，每小題10分，共20分，請在答題指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
A、（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，求證：AB2=AE•AD
B、（選修4-2：矩形與變換）
已知a，b實數(shù)，如果矩陣M=
1a
b2
所對應的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1，求a，b的值．
C、（選修4-4，：坐標系與參數(shù)方程）
設M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的動點，判斷兩曲線的位置關系并求M、N間的最小距離．
D、（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c是不完全相等的正數(shù)，求證：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳二模）如圖，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形A′B′C′D′，其中A與A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）證明AD′∥平面BB′C′C，并指出四邊形AB′C′D′的形狀；
（2）如果四邊形中AB′C′D′中，AD′=
2
，AB′=
5
，正方形的邊長為
6
，求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x，g（x）=3-x2．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）g（x）的極值；
（2）設m是負實數(shù)，求函數(shù)H（x）=f（x）g（x）-m的零點的個數(shù)；
（3）如果存在正實數(shù)a，b，c，使得f（a）g（b）=f（b）g（c）=f（c）g（a）＞0，試證明a=b=c．

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