Question

Rt△ABC中，AC=BC=1,∠BCA=90°,現(xiàn)將△ABC沿著平面ABC的法向量平移到△A₁B₁C₁位置，已知AA₁=2,分別取A₁B₁、A₁A中點P、Q.

（1）求的長；

（2）求cos〈,〉,cos〈,〉,并比較〈,〉與〈,〉的大小;

（3）求證：AB₁⊥C₁P.

Answer 1

解析:（1）以C為原點O，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O—xyz,則由已知得C(0,0,0),A(1,0,0),

B（0,1，0），C₁(0,0,2),P（,,2）,Q(1,0,1),B₁(0,1,2),A₁(1,0,2),

∴=(1,-1,1),=(0,1,2),

=(1,-1,2),=(-1,1,2), =(,,0).

∴｜｜=.

（2）·=0-1+2=1,｜｜=,｜｜=,

∴cos〈,〉=.又·=0-1+4=3,｜｜=,｜｜=,∴cos〈, 〉=.又0＜＜＜1,

∴〈,〉,〈, 〉∈(0,).又y=cosx在（0,）上單調(diào)遞減，

∴〈,〉＞〈,〉.

（3）證明：又·=(-1,1,2)·(, ,0)=0,⊥，即⊥.