Question

f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x-2）；若關(guān)于x的方程f²（x）-f（x）+t=0的方程有6個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍（　�。�

• A、（0，

  1

  4

  ）
• B、（-∞，

  1

  4

  ）
• C、（-2，

  1

  4

  ）
• D、（-2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的表達(dá)式，然后利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x-2）；
∴f（-x）=-x（-x-2），
∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=-x（-x-2）=-f（x），
∴f（x）=-x（x+2），x＜0，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)m=f（x），則當(dāng)m＞1或m＜-1時(shí)，方程有1個(gè)根，
當(dāng)m=1或m=-1時(shí)，方程有2個(gè)根，
當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，方程有3個(gè)根，
則f²（x）-f（x）+t=0等價(jià)為m²-m+t=0，
要使f²（x）-f（x）+t=0的方程有6個(gè)不相等的實(shí)根，
則等價(jià)為方程m²-m+t=0有兩個(gè)不同的根且-1＜m＜1，
設(shè)g（m）=m²-m+t，對(duì)稱性x=-

-1

2

=

1

2

，
則滿足

△=1-4t＞0 g(1)=t＞0 g(-1)=2+t＞0

，
即

t＜ 1 4 t＞0 t＞-2

，∴0＜t＜

1

4

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．