Question

17．如圖，已知直線l與拋物線y²=2px相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，與x軸相交于點M（1，0）線段AB中點坐標（2，1）
（1）求拋物線方程；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用點差法，結合點M（1，0）線段AB中點坐標（2，1），求出p，可得拋物線方程；
（2）直線AB方程x=y+1，代入拋物線方程，利用韋達定理，結合S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|，求△AOB的面積．

解答 解：（1）y₁²=2px₁ ①，y₂²=2px₂②，
兩式相減：y₁²-y₂²=2px₁-2px₂得（y₁+y₂）k_AB=2p，代入解得p=1，…（5分）
∴拋物線方程y²=2x； …（6分）
（2）直線AB方程x=y+1，代入拋物線方程y²=2x得y²-2y-2=0①
y₁、y₂是此方程的兩根，y₁+y₂=2，y₁y₂=-2，…（8分）
于是S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\sqrt{3}$，
∴△AOB的面積為$\sqrt{3}$． …（12分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．