Question

9．已知函數$f（x）=\frac{x（1+lnx）}{x-1}$，若f（x）＞k（k∈Z）對任意x＞1恒成立，則整數k的最大值為3．

Answer 1

分析 求出函數的導數，根據函數的單調性得到lnx₀=x₀-2，求出f（x）的最小值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{x（1+lnx）}{x-1}$，
∴f′（x）=$\frac{x-2-lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-2-lnx，x＞1．
因為h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
所以函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增，
又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4=2-2ln2＞0，
所以h（x）在（1，+∞）上存在唯一的一個實數根x₀，
滿足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0，
即x₀-2-lnx₀=0，所以lnx₀=x₀-2，
當x∈（1，x₀）時，h（x）＜0，此時g′（x）＜0，
當x∈（x₀，+∞）時，h（x）＞0，此時g′（x）＞0，
所以f′（x）在x∈（1，x₀）時，單調遞減，在x∈（x₀，+∞）上單調遞增，
∴f（x）_min=f（x₀）=$\frac{{x}_{0}{（x}_{0}-1）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4）．
所以要使f（x）＞k對任意x＞1恒成立，
則k＜f（x）_min?=x₀∈（3，4），
因為k∈Z，所以要k≤3，即k的最大值為3，
故答案為：3．

點評 本題主要考查了函數的極值和導數之間的關系，以及根的存在性定理的應用，綜合性較強，運算量較大．