Question

14．已知函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[x²-2（2a-1）x+8]．
（1）若f（x）的定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域為R，求a的取值范圍；
（3）f（x）在[-1，+∞）上有意義，求a的取值范圍；
（4）f（x）在[a，+∞]上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（5）a=$\frac{3}{4}$時，y=f[sin（2x-$\frac{π}{3}$）]，x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，（1）利用判別式△＜0求出f（x）的定義域為R；
（2）利用判別式△≥0求出f（x）的值域為R時a的取值范圍；
（3）f（x）在[-1，+∞）上有意義時，得x=-1時x²-2（2a-1）x+8＞0，求出a的取值范圍；
（4）f（x）在[a，+∞）上為減函數(shù)，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2（2a-1）a+8＞0}\\{2a-1≤a}\end{array}\right.$，解不等式組即可；
（5）a=$\frac{3}{4}$時求出f（x），再求出t=sin（2x-$\frac{π}{3}$）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]的取值范圍，求f（t）的值域即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[x²-2（2a-1）x+8]，
（1）當(dāng)f（x）的定義域為R時，
x²-2（2a-1）x+8＞0恒成立，
∴△=4（2a-1）²-4×8＜0，
解得-$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$＜a＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)f（x）的值域為R時，
△=4（2a-1）²-4×8≥0，
解得a≤-$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$或a≥$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$；
（3）當(dāng)f（x）在[-1，+∞）上有意義時，
即x≥-1時，x²-2（2a-1）x+8＞0，
∴1+2（2a-1）+8＞0，
解得a＞-$\frac{7}{4}$；
（4）∵f（x）在[a，+∞）上為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2（2a-1）a+8＞0}\\{2a-1≤a}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{4}{3}$＜a≤1；
（5）當(dāng)a=$\frac{3}{4}$時，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（x²-x+8），
設(shè)t=sin（2x-$\frac{π}{3}$），x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴t=sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
又$\frac{31}{4}$≤t²-t+8≤$\frac{35}{4}$，
∴${log}_{\frac{1}{2}}$35≤f（t）≤${log}_{\frac{1}{2}}$31，
即f（sin（2x-$\frac{π}{3}$））的值域是[${log}_{\frac{1}{2}}$35，${log}_{\frac{1}{2}}$31]．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，也考查了換元法與判別式的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是綜合性題目．