Question

（2013•寧波模擬）△ABC中內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且sinC=2sinB
（1）若A=60°，求

a

b

；
（2）求函數(shù)f(B)=cos(2B+

π

3

)+2cos2B的值域．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式得到c=2b，利用余弦定理表示出cosA，將A的度數(shù)及c=2b代入，整理后即可求出所求式子的值；
（2）由sinC表示出sinB，根據sinC的值域求出sinB的范圍，由B為三角形內角，利用余弦函數(shù)圖象與性質求出B的范圍，f（B）解析式第一項利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的余弦用函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，由B的范圍求出這個角的范圍，進而求出余弦函數(shù)的值域，即可確定出f（B）的值域．

解答：解：（1）由sinC=2sinB，利用正弦定理得：c=2b，
又在△ABC中，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即

1

2

=

5b2-a2

4b2

，
整理得：

a

b

=

3

；
（2）∵sinC=2sinB，即sinB=

1

2

sinC∈（0，

1

2

），
∴B∈（0，

π

6

）∪（

5π

6

，π），
f（B）=cos（2B+

π

3

）+2cos²B=

3

2

cos2B-

3

2

sin2B+1=

3

cos（2B+

π

6

）+1，
∵2B+

π

6

∈（0，

π

2

）∪（2π，

13π

6

），
∴cos（2B+

π

6

）∈（0，

3

2

）∪（

3

2

，1），
則f（B）的值域為（1，

5

2

）∪（

5

2

，

3

+1）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．