Question

已知點(diǎn)及圓：.（Ⅰ）若直線過點(diǎn)且與圓心的距離為1，求直線的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P的直線與圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求以線段為直徑的圓的方程；（Ⅲ）設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) , (Ⅱ) （Ⅲ）不存在

解析:

：（Ⅰ）設(shè)直線的斜率為（存在）則方程為.

又圓C的圓心為，半徑，由  ，  解得.

所以直線方程為，  即 .

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為，經(jīng)驗(yàn)證也滿足條件

（Ⅱ）由于，而弦心距，

所以.所以為的中點(diǎn).故以為直徑的圓的方程為 

（Ⅲ）把直線即．代入圓的方程，

消去，整理得．由于直線交圓于兩點(diǎn)，故，即，解得．

則實(shí)數(shù)的取值范圍是．設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以的斜率，而，所以．由于，

故不存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦．