精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知P是△ABC內(nèi)一點，且滿足 $數(shù)學(xué)公式$ =0，記△ABP、△BCP、△ACP的面積依次為S₁、S₂、S₃，則S₁：S₂：S₃ ________．

3：1：2
分析：有已知的等式變形可得∴ $\text{[math]}$ =-6 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，P到BC的距離等于A到BC的距離的 $\text{[math]}$ ，P到AC的距離等于B到AC的距離的 $\text{[math]}$ ．從而，S₂= $\text{[math]}$ S，S₃= $\text{[math]}$ S，S₁=S-S₂-S₃= $\text{[math]}$ S．
解答：

解：如圖：設(shè)D、E 分別為BC、AC的中點，
∵ $\text{[math]}$ =0，∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-3（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =-3×2 $\text{[math]}$ =-6 $\text{[math]}$ ，
同理由（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=-2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），即 2 $\text{[math]}$ =-2× $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．∴P到BC的距離等于A到BC的距離的 $\text{[math]}$ ，
設(shè)△ABC的面積為S，則S₂= $\text{[math]}$ S．
P到AC的距離等于B到AC的距離的 $\text{[math]}$ ，
∴S₃= $\text{[math]}$ S．∴S₁=S-S₂-S₃= $\text{[math]}$ S．
∴S₁：S₂：S₃= $\text{[math]}$ S： $\text{[math]}$ S= $\text{[math]}$ S=3：1：2，
故答案為：3：1：2．
點評：本題考查共線向量的意義，兩個同底的三角形的面積之比等于底上的高之比，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．

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