Question

12．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{7}{4}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿(mǎn)足T_n+1-b_n=2，n∈N^*，且b₁=1．
（1）求b₂，b₃，b₄的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試探究b_n與b_n+6的關(guān)系，并求$\sum_{i=1}^{6n}$a_ib_i（其中n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿(mǎn)足T_n+1-b_n=2，n∈N^*，且b₁=1．分別取n=1，2，3，可得b₂，b₃，b₄．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0．由a₃=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{7}{4}$，可得${a}_{1}{q}^{2}$=$\frac{1}{4}$，${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$=$\frac{7}{4}$，解出即可．
（2）由（1）可得：b₅=-2，b₆=-1，b₇=1，b₈=2，…，可得b_n+6=b_n．計(jì)算$\sum_{i=1}^{6}{a}_{i}_{i}$=$\frac{63}{32}$．可得$\sum_{i=1}^{6n}$a_ib_i=$\frac{63}{32}[1+（\frac{1}{2}）^{6}+（\frac{1}{2}）^{12}+$…+$（\frac{1}{2}）^{6n-6}]$．

解答 解：（1）∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿(mǎn)足T_n+1-b_n=2，n∈N^*，且b₁=1．
分別取n=1，2，3，可得b₂=2，b₃=1，b₄=-1．
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0．
∵a₃=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{7}{4}$，
∴${a}_{1}{q}^{2}$=$\frac{1}{4}$，${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$=$\frac{7}{4}$，
解得a₁=1，q=$\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）由（1）可得：b₅=-2，b₆=-1，b₇=1，b₈=2，…，
可得b_n+6=b_n．
∵$\sum_{i=1}^{6}{a}_{i}_{i}$=$1×（\frac{1}{2}）^{0}$+$2×（\frac{1}{2}）^{1}$+$1×（\frac{1}{2}）^{2}$-$（\frac{1}{2}）^{3}$-2×$（\frac{1}{2}）^{4}$-$（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{63}{32}$．
∴$\sum_{i=1}^{6n}$a_ib_i=$\frac{63}{32}[1+（\frac{1}{2}）^{6}+（\frac{1}{2}）^{12}+$…+$（\frac{1}{2}）^{6n-6}]$
=$\frac{63}{32}$×$\frac{1-（\frac{1}{64}）^{n}}{1-\frac{1}{64}}$=$2[1-（\frac{1}{64}）^{n}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的周期性，考查了變形能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．