Question

17．北京市各級各類中小學(xué)每年都要進行“學(xué)生體質(zhì)健康測試”，測試總成績滿分為100分，規(guī)定測試成績在[85，100]之間為體質(zhì)優(yōu)秀；在[75，85]之間為體質(zhì)良好；在[60，75]之間為體質(zhì)合格；在[0，60]之間為體質(zhì)不合格．
現(xiàn)從某校高三年級的300名學(xué)生中隨機抽取30名學(xué)生體質(zhì)健康測試成績，其莖葉圖如圖：
（Ⅰ）試估計該校高三年級體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)以上30名學(xué)生體質(zhì)健康測試成績，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從體質(zhì)為優(yōu)秀和良好的學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中選出3人．
（ⅰ）求在選出的3名學(xué)生中至少有1名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率；
（ⅱ）記X為在選出的3名學(xué)生中體質(zhì)為良好的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)莖葉圖可得優(yōu)秀率，從而可得總體中優(yōu)秀學(xué)生數(shù)；
（II）（i）先計算按分層抽樣方法，抽取的優(yōu)秀學(xué)生數(shù)和良好學(xué)生數(shù)，再利用排列組合知識計算從這5名學(xué)生中選出3人的方法種數(shù)，計算選出的3名學(xué)生中至少有1名體質(zhì)為優(yōu)秀的選法種數(shù)及選出的3名學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)的選法種數(shù)，代入古典概型概率公式計算即可．
（ii）由題意X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖知：體質(zhì)優(yōu)秀的數(shù)據(jù)有10個，
∴優(yōu)秀率為$\frac{1}{3}$，
∴總體中優(yōu)秀學(xué)生數(shù)為300×$\frac{1}{3}$=100人．
（II）樣本中體質(zhì)良好的學(xué)生數(shù)為15，
∴按分層抽樣方法，從體質(zhì)為優(yōu)秀和良好的學(xué)生中抽取5名學(xué)生，則抽取的優(yōu)秀學(xué)生數(shù)為2，良好學(xué)生數(shù)為3，
（i）從這5名學(xué)生中選出3人，共有${C}_{5}^{3}$=10種選法，
其中選出的3名學(xué)生中至少有1名體質(zhì)為優(yōu)秀的選法有${C}_{2}^{1}×{C}_{3}^{2}$+${C}_{2}^{2}×{C}_{3}^{1}$=9種，
∴選出的3名學(xué)生中至少有1名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率為p=$\frac{9}{10}$．
（ii）5名學(xué)生中優(yōu)秀學(xué)生數(shù)為2，良好學(xué)生數(shù)為3，從中選3人，
記X為在選出的3名學(xué)生中體質(zhì)為良好的人數(shù)，由X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{1}{10}$

E（X）=$1×\frac{3}{10}+2×\frac{6}{10}+3×\frac{1}{10}$=1.8．

點評 本題考查了古典概型的概率計算及計數(shù)原理應(yīng)用，考查了組合數(shù)計算公式，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是利用排列組合知識求得符合條件的基本事件個數(shù)．