Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域為區(qū)間[-2，2]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的單調區(qū)間；
（3）求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（a+2）=18可得3^a+2=18，求得3^a=2，可得g（x）的解析式．
（2）根據(jù)g（x）=2^x-（2^x）²，x∈[-2，2]，設t=2x，t∈[

1

4

，4]，則y=t-t2=-(t-

1

2

)2+

1

4

，根據(jù)復合函數(shù)的單調性求得g（x）的單調區(qū)間．
（3）根據(jù)g（x）的單調性求得它的最值，從而求得g（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，∴3^a+2=18，得3^a=2，
∴g（x）=2^x-4^x，x∈[-2，2]．
（2）∵g（x）=2^x-4^x =2^x-（2^x）²，x∈[-2，2]，
設t=2x，t∈[

1

4

，4]，則y=t-t2=-(t-

1

2

)2+

1

4

，在[

1

2

，4]上單調遞減，
在[

1

4

，

1

2

)上單調遞增，∵t=2^x為[-2，2]上的增函數(shù)，
∴g（x）在[-1，2]上為減函數(shù)，在[-2，-1）上為增函數(shù)．
（3）由（2）知g（x）在[-1，2]上為減函數(shù)，在[-2，-1）上為增函數(shù)，且g(2)=-12＜

3

16

=g(-2)，
∴g（x）_min=g（2）=-12，g(x)max=g(-1)=

1

4

，
∴-12≤g(x)≤

1

4

，
故g（x）的值域為[-12，

1

4

]．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．