Question

設(shè)f（x）=+xlnx，g（x）=x³-x²-3.
（1）a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處得切線方程；
（2）若果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
（3）如果對任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，，，f（1）=2，， 所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=-x+3； （Ⅱ）存在，使得成立，等價(jià)于： 考察，）   0 2   - 0 +   g（x） -3 遞減 極小值 遞增 1 由上表可知： ， 所以滿足條件的最大整數(shù)M=4； （Ⅲ）解法一：對任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立， 等價(jià)于：在區(qū)間上，函數(shù)f（x）的最小值不小于g（x）的最大值， 由（2）知，在區(qū)間上，g（x）的最大值為g（2）=1。 f（1）=a≥1，下證當(dāng)a≥1時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)f（x）≥1恒成立。 當(dāng)a≥1且時(shí)，， 記，， 當(dāng)，；當(dāng) 所以函數(shù)h（x）=在區(qū)間上遞減，在區(qū)間(1，2]遞增， ，即，所以當(dāng)且時(shí)，成立， 即對任意s，t，都有； 解法二：當(dāng)時(shí)，恒成立， 等價(jià)于恒成立，記，， 記，，由于， 所以在上遞減，當(dāng)時(shí)，， 時(shí)，，即函數(shù)h（x）=在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減， 所以，所以a≥1。