Question

△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上的一點（包括端點），則

AD

•

BC

的取值范圍是（　　）

• A、[1，2]
• B、[0，1]
• C、[0，2]
• D、[-5，2]

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：由于D是邊BC上的一點（包括端點），利用向量共線定理：可設

AD

=λ

AB

+(1-λ)

AC

（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得

AB

•

AC

=2×1×cos120°=-1．代入利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出

AD

•

BC

=-7λ+2．
再利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵D是邊BC上的一點（包括端點），∴可設

AD

=λ

AB

+(1-λ)

AC

（0≤λ≤1）．
∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴

AB

•

AC

=2×1×cos120°=-1．
∴

AD

•

BC

=[λ

AB

+(1-λ)

AC

]•(

AC

-

AB

)
=(2λ-1)

AB

•

AC

-λ

AB

2+(1-λ)

AC

2
=-（2λ-1）-4λ+1-λ
=-7λ+2．
∵0≤λ≤1，
∴（-7λ+2）∈[-5，2]．
∴

AD

•

BC

的取值范圍是[-5，2]．
故選：D．

點評：本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運算性質(zhì)、一次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．