Question

8．已知函數(shù)f（x）=2x-$\frac{a}{x}$+blnx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線方程為3x+y-8=0．
（Ⅰ）求a，b的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{3}{x}$，試問過點（2，2）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何得到f′（1）=-3，f（1）=5，代入求出a，b的值，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，可求單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)過點（2，2）與曲線g （x）相切的切線的切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），則由切線過點（2，2）可得y₀-2=g′（x₀）（x₀-2），可化為lnx₀+$\frac{2}{x_0}$-2=0，令h（x）=lnx+$\frac{2}{x}$-2，問題轉(zhuǎn)化為h（x）在（0，+∞）上的零點個數(shù)，由零點判定定理可得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=2+$\frac{a}{x^2}$+$\frac{x}$．
依題設(shè)，f（1）=5，f′（1）=-3，
∴a=-3，b=-2，
∴f′（x）=2-$\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{2{x^2}-2x-3}}{x^2}$，
令f′（x）＞0，又x＞0，
∴x＞$\frac{{1+\sqrt{7}}}{2}$．
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{{1+\sqrt{7}}}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-$\frac{3}{x}$=2x-2lnx，
∴g′（x）=2-$\frac{2}{x}$．
設(shè)過點（2，2）與曲線g（x）的切線的切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則y₀-2=g′（x₀）（x₀-2），即2x₀-2lnx₀-2=（2-$\frac{2}{x_0}$）（x₀-2），
∴l(xiāng)nx₀+$\frac{2}{x_0}$-2=0，
令h（x）=lnx+$\frac{2}{x}$-2，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=2，
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（$\frac{1}{2}$）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
∴h（x）與x軸有兩個交點，
∴過點（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，屬于中檔題．