Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+a-1，a∈R
（1）若函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上總是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)滿足f（1-x）=f（1+x），關(guān)于x=1對稱，再求出函數(shù)f（x）=ax²-2x+a-1，的對稱軸令其相等即可求出a值；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間上總是單調(diào)函數(shù)，討論a=0，或a≠0的情況，討論二次函數(shù)的圖象及其對稱軸，從而進行求解；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間上有零點，討論a=0和a≠0的情況，a≠0時，討論有幾個零點可以有一個也可以有兩個，利用轉(zhuǎn)化的思想將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域的問題；
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-2x+a-1，a∈R，
∵函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），∴f（x）關(guān)于直線x==1對稱，
因為f（x）的對稱軸為x=，
∴=1，解得a=1；
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間上總是單調(diào)函數(shù)，
若a=0，可得f（x）=-2x-1，是單調(diào)減函數(shù)，滿足題意；
若a≠0可得，f（x）=ax²-2x+a-1，a∈R
對稱軸為：x=-=，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間上總是單調(diào)函數(shù)，可得
解得a≥2或a＜0或0＜a≤，
綜上可得：a≤或a≥2；
（3）當(dāng)a=0時，令f（x）=0解得x=-不在區(qū)間上，不滿足題意；
當(dāng)a≠0時，函數(shù)f（x）=ax²-2x+a-1在區(qū)間上有零點?a（x²+1）=1+2x在區(qū)間上有解，
?a=在區(qū)間上有解，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=在區(qū)間上的值域，
設(shè)t=1+2x∈[2，5]，g（t）=遞減，t∈（，5），g（t）遞增，
事實上，設(shè)0＜t₁＜t₂，則g（t₁）-g（t₂）=（t₁+）-（t₂+）=，
由0＜t₁＜t₂，得t₁-t₂＜0，0＜t₁t₂＜5，即g（t₁）-g（t₂）＞0
所以g（t）在（2，）上單調(diào)遞減，同理得g（t）在（，5）上單調(diào)遞增，又g（5）=6＞g（2）=4.5，
故g（）≤g（t）≤g（5），
∴2≤g（t）≤6，，0＜2-2≤g（t）-2≤4，
∴1≤≤，1≤≤，
∴y∈[1，]
故實數(shù)a的取值范圍為．…（14分）
點評：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及零點問題，考查的知識點比較多，解題過程中用到了轉(zhuǎn)化的思想，這是高考�？嫉臒狳c問題，此題是一道中檔題；