Question

（2013•通州區(qū)一模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2

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，CC₁=4，M是棱CC₁上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分別為CC₁，AB的中點(diǎn)，求證：CN∥平面AB₁M．

Answer 1

分析：（I）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得　CC₁⊥BC．由已知　AC=BC=2，AB=2

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，可得AC²+BC²=AB²，利用勾股定理的逆定理得到BC⊥AC．    再利用線面垂直的判定定理可得BC⊥平面ACC₁A₁．進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．
（II） 過(guò)N作NP∥BB₁交AB₁于P，連接MP，則NP∥CC₁． 由已知　M，N分別為CC₁，AB中點(diǎn)，利用平行線分線段成比例定理可得CM=

1

2

CC1，NP=

1

2

BB1．進(jìn)而可得四邊形MCNP是平行四邊形，利用其性質(zhì)可得　CN∥MP．再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥BC．              
∵AC=BC=2，AB=2

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴BC⊥AC．    
又∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．                      
∵AM?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AM．                             
（Ⅱ）過(guò)N作NP∥BB₁交AB₁于P，連接MP，則NP∥CC₁． 
∵M(jìn)，N分別為CC₁，AB中點(diǎn)，
∴CM=

1

2

CC1，NP=

1

2

BB1．
∵BB₁=CC₁，
∴NP=CM．         
∴四邊形MCNP是平行四邊形．
∴CN∥MP．                               
∵CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，
∴CN∥平面AB₁ M．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面垂直與平行的判定定理和性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、勾股定理的逆定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．