Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且其相鄰兩對稱軸之間的距離為π．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)若sinα+f（α）=$\frac{2}{3}$，α∈（0，π），求$\frac{sin（-α）sin（π+α）+sinαcos（π-α）}{1+tan（3π+α）}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），求得φ的值，再根據(jù)周期性求得ω，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由條件求得sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα的值，從而求得sinα-cosα 的值，再利用誘導(dǎo)公式化簡要求的式子，可得結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），
可得sinφ=1，∴φ=$\frac{π}{2}$，．
∵其相鄰兩對稱軸之間的距離為π，∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=1，∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
（2）∵sinα+f（α）=$\frac{2}{3}$，α∈（0，π），即 sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα═-$\frac{5}{18}$，
∴α為鈍角，sinα-cosα=$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{3}$，
∴$\frac{sin（-α）sin（π+α）+sinαcos（π-α）}{1+tan（3π+α）}$=$\frac{-sinα•（-sinα）+sinα•（-cosα）}{1+tanα}$=$\frac{sinαcosα•（sinα-cosα）}{cosα+sinα}$
=$\frac{-\frac{5}{18}•\frac{\sqrt{14}}{3}}{\frac{2}{3}}$=-$\frac{5}{36}$$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角函數(shù)的化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．